Question

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA=a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC, SD,  α  là góc giữa đường thẳng MN và (SAC). Giá trị tan α  là

A.  6 3

B.   6 2

C.    3 2

D.  2 3

Answer 1

Chọn A.

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có:

A(0;0;0), B(0;a;0), C(a;a;0), D(a;0;0), S(0;0;a)

M là trung điểm của BC  ⇒ M a 2 ; a ; 0

N là trung điểm của SD ⇒ N a 2 ; 0 ; a 2 ⇒ M N → 0 ; - a ; a 2

Do ABCD là hình vuông nên  AC ⊥ BD

S A ⊥ ( A B C D ) B D ⊂ ( A B C D ) ⇒ S A ⊥ B D

Ta có: 

là một pháp tuyến của (SAC)

Khi đó ta có: 

sin α = cos ( M N → , B D → ) = M N → . B D → M N → . B D →

= a 2 a 5 2 . a 2 = 10 5

1 sin 2 α   = 1 + c o t 2 α   ⇔ 25 10 = 1 + c o t 2 α   ⇔ c o t 2 α   = 3 2 ⇒ c o t α = 3 2 ( d o   0 < α < 90 0 )

Lại có: 

tan α . c o t α = 1   ⇒ tan α = 2 3 = 6 3