Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, BD = 2a; tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC = a 3 . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD).

A.  3 a 21 7

B.  a 21 7

C.  2 a 21 7

D. 4 a 21 7

Answer 1

+ Kẻ SH ⊥ AC, H ∈  AC

Do (SAC)  ⊥ (ABCD) ⇒ SH  ⊥ (ABCD)

+ BD = 2a ⇒ AC = 2a

SA = A C 2 − S C 2 = 2 a 2 − a 3 2 = a ; SH =  S A . S C A C = a . a 3 2 a = a 3 2

Ta có: AH = S A 2 − S H 2 = a 2 − a 3 2 2 = a 2 ⇒ AC = 4AH

Lại có: HC ∩ (SAD) = A d C ; S A D d H ; S A D = A C A H =  4

⇒ d(C; (SAD)) = 4d(H; (SAD))

Do BC // (SAD) (BC//AD)  ⇒  d(B; (SAD)) = d(C; (SAD))

Do đó d(B; (SAD)) = 4d(H; (SAD))

+ Kẻ HK ⊥ AD tại K, kẻ HJ ⊥  SK tại J

Ta chứng minh được HJ ⊥  (SAD)  ⇒ d(H; (SAD)) = HJ

⇒  d(B; (SAD)) = 4HJ

+ Tính HJ

Tam giác AHK vuông tại K có H A K ^ = C A D ^ = 45 ° ⇒  HK = AH.sin 45 ° =  a 2 4

Mặt khác: 1 H J 2 = 1 H K 2 + 1 S H 2 ⇒ HJ =  a 21 14

Vậy d(B; (SAD)) = 4 . a 21 14 = 2 a 21 7 .

Đáp án C