Question

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 2 . Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của BC, SH =  a 2 2 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. BHD.

A.  a 2 2

B.  a 5 2

C.  a 17 4

D.  a 11 4

Answer 1

Chọn C

Gọi R và r lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. BHD và tam giác BHD.

Ta có HB= a 2 2 , H D = H C 2 + D C 2 = a 2 2 2 + a 2 = a 6 2 , B D = a 2 + 2 a 2 = a 3

Áp dụng định lí Cô sin, ta có 

cos B H D ^ = a 2 2 + 3 a 2 2 - 3 a 2 2 . a 2 2 a 6 2 = - 1 3 ⇒ sin B H D ^ = 2 3

Diện tích tam giác BHD là

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD và M là trung điểm SH. Mặt phẳng trung trực của SH cắt trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD tại E. Khi đó E là tâm mặt cầu cần tìm.

Ta có