Question

Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại B, tam giác SAC vuông tại C. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 60 o . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

A. 3 a 3 8

B. 3 a 3 12

C. 3 a 3 6

D.  3 a 3 4

Answer 1

Chọn B

Gọi D là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC), suy ra  S D ⊥ A B C .

Ta có  S D ⊥ A B  và  S B ⊥ A B ( g t ) , suy ra  A B ⊥ S B D ⇒ B A ⊥ B D .

 

Tương tự có  A C ⊥ D C  hay tam giác ACD vuông ở C.

Dễ thấy  ∆ S B A = ∆ S C A  (cạnh huyền và cạnh góc vuông), suy ra SB=SC. Từ đó ta chứng minh được  ∆ S B D = ∆ S C D  nên cũng có DB=DC.

 

Vậy DA là đường trung trực của BC, nên cũng là đường phân giác của góc  B A C ^ .

Ta có  D A C ^ = 30 o , suy ra  D C = a 3 . Ngoài ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) là  S B D ^ = 60 o  suy ra  tan S B D ^ = S D B D ⇒ S D = B D tan S B D ^ = a 3 . 3 = a
Vậy V S . A B C = 1 3 . S ∆ A B C . S D = 1 3 a 2 3 4 . a = a 3 3 12