Question

Cho Hình Bình Hành ABCD, tia phân giác của góc A cắt cạnh BD tại H. Tia phân giác góc D cắt cạnh AC tại K. Chứng minh HK // BC.  

Answer 1

Gọi O là giao điểm của AC và BD

ta có: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔBAD có AH là phân giác

nên \(\frac{DH}{HB}=\frac{DA}{AB}\)

=>\(\frac{DH}{DH+HB}=\frac{DA}{DA+AB}\)

=>\(\frac{DH}{DB}=\frac{DA}{DA+BA}\) (1)

Xét ΔADC có DK là phân giác

nên \(\frac{AK}{KC}=\frac{DA}{DC}=\frac{DA}{AB}\)

=>\(\frac{AK}{AK+KC}=\frac{DA}{DA+AB}\)

=>\(\frac{AK}{AC}=\frac{DA}{AD+AB}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{AK}{AC}=\frac{DH}{DB}\)

=>\(\frac{AK}{2\cdot AO}=\frac{DH}{2\cdot DO}\)

=>\(\frac{AK}{AO}=\frac{DH}{DO}\)

=>\(1-\frac{AK}{AO}=1-\frac{DH}{DO}\)

=>\(\frac{OK}{OA}=\frac{OH}{OD}\)

Xét ΔOAD có \(\frac{OK}{OA}=\frac{OH}{OD}\)

nên KH//AD

mà AD//BC

nên KH//BC