Question

Cho Hình bình hành ABCD. Một đường thẳng a cắt AB, AC, AD lần lượt tại E, M , F. Từ B và D kể đg thẳng song song với đg thẳng a cắt AC lần lượt tại H và I. CM: AB/AE  + AD/AF = AC/AM.

Answer 1

Xét ΔAHB có ME//HB

nên \(\frac{AE}{AB}=\frac{AM}{AH}\)

=>\(\frac{AB}{AE}=\frac{AH}{AM}\)

Xét ΔADI có MF//DI

nên \(\frac{AF}{AD}=\frac{AM}{AI}\)

=>\(\frac{AD}{AF}=\frac{AI}{AM}\)

Gọi K là giao điểm của DI và AB, N là giao điểm của BH và DC

Ta có: FE//DK

FE//BN

Do đó: DK//BN

Xét tứ giác BKDN có

BK//DN

BN//DK

Do đó: BKDN là hình bình hành

=>BN=DK và BK=DN

Ta có: BK+KA=BA

DN+NC=DC

mà BK=DN và AB=DC

nên KA=NC

Xét ΔIAK và ΔHCN có

\(\hat{IAK}=\hat{HCN}\) (hai góc so le trong, AK//CN)

KA=CN

\(\hat{IKA}=\hat{HNC}\left(=\hat{IDC}\right)\)

Do đó: ΔIAK=ΔHCN

=>AI=CH

\(\frac{AB}{AE}+\frac{AD}{AF}=\frac{AH}{AM}+\frac{AI}{AM}=\frac{AH}{AM}+\frac{CH}{AM}=\frac{AC}{AM}\)