Question

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B trên CD và AD. Chứng minh BD² = DC.DE + DA.DF

Answer 1

-Kẻ AG⊥BD tại G.

-Xét △ADG và △BDF có:

\(\widehat{AGD}=\widehat{BFD}=90^0\)

\(\widehat{FDB}\) là góc chung.

\(\Rightarrow\)△ADG∼△BDF (g-g).

\(\Rightarrow\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{DG}{DF}\) (tỉ số đồng dạng)

\(\Rightarrow DA.DF=DG.DB\)(1)

-Xét △AGB và △BED có:

\(\widehat{ABG}=\widehat{BDE}\) (AB//CD và so le trong)

\(\widehat{AGB}=\widehat{BED}=90^0\)

\(\Rightarrow\)△AGB∼△BED (g-g).

\(\Rightarrow\dfrac{BA}{DB}=\dfrac{BG}{DE}\) (tỉ số đồng dạng)

\(\Rightarrow BA.DE=DB.BG\) mà \(BA=DC\) (ABCD là hình bình hành).

\(\Rightarrow DC.DE=DB.BG\left(2\right)\)

-Từ (1) và (2) suy ra:

\(DC.DE+DA.DF=DB.DG+DB.BG=DB.\left(DG+BG\right)=DB.DB=DB^2\)