Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của B và D trên đường chéo AC. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của C trên các đường thẳng AB và AD
1) Chứng minh rằng: AK = IC
2) Chứng minh rằng: BIDK là hình bình hành
3) Chứng minh rằng: AD. AN + AB. AM = AC^2
4) CMR: Tỉ số các khoảng cách từ một điểm T bất kì trên đường chéo AC đến hai đường thẳng AB và AD bằng AD = AD/AB
1: Xét ΔDKA vuông tại K và ΔBIC vuông tại I có
DA=BC
\(\widehat{DAK}=\widehat{BCI}\)(DA//BC)
Do đó: ΔDKA=ΔBIC
=>AK=IC
2: Ta có: ΔDKA=ΔBIC
=>DK=BI
Ta có: DK\(\perp\)AC
BI\(\perp\)AC
Do đó: DK//BI
Xét tứ giác DKBI có
DK//BI
DK=BI
Do đó: DKBI là hình bình hành
3: Xét ΔAKD vuông tại Kvà ΔANC vuông tại N có
\(\widehat{KAD}\) chung
Do đó: ΔAKD~ΔANC
=>\(\dfrac{AK}{AN}=\dfrac{AD}{AC}\)
=>\(AD\cdot AN=AK\cdot AC\)
Xét ΔAMC vuông tại M và ΔAIB vuông tại I có
\(\widehat{MAC}\) chung
Do đó: ΔAMC~ΔAIB
=>\(\dfrac{AM}{AI}=\dfrac{AC}{AB}\)
=>\(AM\cdot AB=AI\cdot AC\)
\(AM\cdot AB+AN\cdot AD\)
\(=AI\cdot AC+AK\cdot AC\)
\(=AC\left(AI+AK\right)=AC\cdot\left(AI+CI\right)=AC^2\)
