Question

Cho hình bình hành ABCD​( AC >BD), hình chiếu vuông góc của C lên AB,AD lần lượt là E và F ; H và K lần lượt là hình chiếu của D và B lên AC. Chứng minh: AB.AE + AD.AF = AC²

Answer 1

Xét ΔAEC vuông tại E và ΔAKB vuông tại K có

\(\hat{EAC}\) chung

Do đó: ΔAEC~ΔAKB

=>\(\frac{AE}{AK}=\frac{AC}{AB}\)

=>\(AE\cdot AB=AK\cdot AC\)

Xét ΔAHD vuông tại H và ΔAFC vuông tại F có

\(\hat{HAD}\) chung

Do đó: ΔAHD~ΔAFC

=>\(\frac{AH}{AF}=\frac{AD}{AC}\)

=>\(AD\cdot AF=AH\cdot AC\)

Xét ΔHAD vuông tại H và ΔKCB vuông tại K có

AD=CB

\(\hat{HAD}=\hat{KCB}\) (hai góc so le trong, AD//BC)

Do đó: ΔHAD=ΔKCB

=>HA=CK

\(AB\cdot AE+AD\cdot AF\)

\(=AK\cdot AC+AH\cdot AC\)

\(=AK\cdot AC+CK\cdot AC=AC\left(AK+CK\right)=AC^2\)