ABCD là hình bình hành
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AC và BD
E là giao điểm của các đường phân giác của ΔOAB
=>OE là phân giác của góc AOB và AE là phân giác của góc BAO; BE là phân giác của góc ABO
F là giao điểm của các đường phân giác của ΔOBC
=>OF là phân giác của góc BOC; BF là phân giác của góc OBC; CF là phân giác của góc BCO
G là giao điểm của các đường phân giác của ΔOCD
=>OG là phân giác của góc COD; CG là phân giác của góc OCD; DG là phân giác của góc ODC
H là giao điểm của các đường phân giác của ΔOAD
=>OH là phân giác của góc AOD; AH là phân giác của góc OAD; DH là phân giác của góc ADH
Ta có: \(\hat{EOA}=\frac12\cdot\hat{AOB}\) (OE là phân giác của góc AOB)
\(\hat{GOC}=\frac12\cdot\hat{DOC}\) (OG là phân giác của góc DOC)
mà \(\hat{AOB}=\hat{DOC}\) (hai góc đối đỉnh)
nên \(\hat{EOA}=\hat{GOC}\)
mà \(\hat{EOA}+\hat{EOC}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{EOC}+\hat{GOC}=180^0\)
=>E,O,G thẳng hàng
Ta có: \(\hat{HOA}=\frac12\cdot\hat{AOD}\) (OH là phân giác của góc AOD)
\(\hat{FOC}=\frac12\cdot\hat{BOC}\) (OF là phân giác của góc BOC)
mà \(\hat{AOD}=\hat{BOC}\) (hai góc đối đỉnh)
nên \(\hat{HOA}=\hat{FOC}\)
mà \(\hat{HOA}+\hat{HOC}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\) \(\hat{FOC}+\hat{HOC}=180^0\)
=>F,O,H thẳng hàng
Ta có: \(\hat{HDO}=\frac12\cdot\hat{ADO}\) (DH là phân giác của góc ADO)
\(\hat{FBO}=\frac12\cdot\hat{OBC}\) (BF là phân giác của góc OBC)
mà \(\hat{ODA}=\hat{OBC}\) (hai góc so le trong, DA//BC)
nên \(\hat{HDO}=\hat{FBO}\)
=>HD//BF
Ta có: \(\hat{EAO}=\frac12\cdot\hat{BAO}\) (AE là phân giác của góc OAB)
\(\hat{GCO}=\frac12\cdot\hat{OCD}\) (CG là phân giác của góc OCD)
mà \(\hat{OAB}=\hat{OCD}\) (hai góc so le trong, AB//CD)
nên \(\hat{EAO}=\hat{GCO}\)
Xét ΔOAE và ΔOCG có
\(\hat{AOE}=\hat{COG}\)
OA=OC
\(\hat{OAE}=\hat{OCG}\)
Do đó: ΔOAE=ΔOCG
=>OE=OG
=>O là trung điểm của EG
Xét ΔODH và ΔOBF có
\(\hat{ODH}=\hat{OBF}\)
OD=OB
\(\hat{DOH}=\hat{BOF}\)
Do đó: ΔODH=ΔOBF
=>OH=OF
=>O là trung điểm của HF
Ta có: \(\hat{EOF}=\hat{EOB}+\hat{FOB}\)
\(=\frac12\left(\hat{AOB}+\hat{BOC}\right)=\frac12\cdot180^0=90^0\)
=>EG⊥HF tại O
Xét tứ giác EHGF có
O là trung điểm chung của EG và HF
=>EHGF là hình bình hành
Hình bình hành EHGF có EG⊥HF
nên EHGF là hình thoi
