ĐTHS có 2 tiệm cận là \(x=1\) và \(y=2\) \(\Rightarrow\) giao điểm 2 tiệm cận là \(I\left(1;2\right)\)
\(y'=\dfrac{-4}{\left(x-1\right)^2}\)
Gọi \(a\) là hoành độ tiếp điểm \(\Rightarrow\) pttt tại điểm có hoành độ bằng a có dạng:
\(y=-\dfrac{4}{\left(a-1\right)^2}\left(x-a\right)+\dfrac{2a+2}{a-1}\) (1)
Giao điểm với TCĐ: \(x=1\Rightarrow y=\dfrac{2a+6}{a-1}\) \(\Rightarrow A\left(1;\dfrac{2a+6}{a-1}\right)\)
\(\Rightarrow IA=\sqrt{\left(\dfrac{2a+6}{a-1}-2\right)^2}=\dfrac{8}{\left|a-1\right|}\)
Giao điểm với TCN: \(y=2\Rightarrow x=2a-1\) \(\Rightarrow B\left(2a-1;2\right)\)
\(\Rightarrow IB=\sqrt{\left(2a-1-1\right)^2}=2\left|a-1\right|\)
\(\Rightarrow\) Chu vi tam giác:
\(IA+IB+AB=IA+IB+\sqrt{IA^2+IB^2}\ge2\sqrt{IA.IB}+\sqrt{2IA.IB}=8+4\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\dfrac{8}{\left|a-1\right|}=2\left|a-1\right|\Rightarrow\left(a-1\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3\\a=-1\end{matrix}\right.\)
Thay vào (1)\(\Rightarrow y=-x-1\) và \(y=-x+7\)
