Question

Cho hàm số \(y=\frac{2x-1}{x-1}\) có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm  hai đường tiệm cận của (C). Tìm trên (C) điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại đó vuông góc với đường thẳng IM

Answer 1

Ta có : \(y'=-\frac{1}{\left(x-1\right)^2};x\ne1\)

Giao điểm cả 2 đường tiệm cận là I(1;2)

Gọi \(M\left(x_0;2+\frac{1}{x_0-1}\right)\) là tiếp điểm. Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến \(\Delta\) tại M là \(k_1=-\frac{1}{\left(x_0-1\right)^2}\)

Ta có \(\overrightarrow{IM}\left(x_0-1;\frac{1}{x_0-1}\right)\) nên đường thẳng IM có hệ số góc \(k_2=\frac{1}{\left(x_0-1\right)^2}\)

\(IM\perp\Delta\Leftrightarrow k_1k_2=-1\Leftrightarrow x_0=0;x_0=2\)

Vậy có 2 điểm cần tìm là : \(M_1\left(0;1\right);M_2\left(2;3\right)\)