Nội dung lý thuyết
TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
• Hệ số góc của tiếp tuyến tại M (\(x_0;y_0\)) là \(k=y'\left(x_0\right)\)
• Phương trình tiếp tuyến tại M (\(x_0;y_0\)) là \(y=y'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0\)
• Tính \(y_0\Rightarrow y'\left(x_0\right)\) ⇒ PTTT.
Lưu ý.
∗ Nếu đề bài chỉ cho \(x_0\) thì gọi điểm tiếp xúc là M(\(x_0;y_0\)) và tính \(y_0=y'\left(x_0\right)\).
∗ Nếu đề chỉ cho \(y_0\) thì gọi điểm tiếp xúc là M(\(x_0;y_0\)) và giải phương trình \(y_0=y'\left(x_0\right)\Rightarrow x_0\)
∗ Nếu đề chưa cho \(x_0;y_0\) thì gọi điểm tiếp xúc là M(\(x_0;y_0\)) và lập phương trình tiếp tuyến theo x0.
• Gọi điểm tiếp xúc M(\(x_0;y_0\)); Tính \(y'\) ; Giải phương trình \(y'\left(x_0\right)=k\Rightarrow x_0;y_0\)⇒ Phương trình tiếp tuyến.
Lưu ý.
∗ Tiếp tuyến song song ∆ ⇒ kT T = k∆.
∗ Tiếp tuyến vuông góc ∆ ⇒ kT T = − 1 k∆
Ví dụ 1 :
Cho hàm số \(y=x^4-8x^2+m+1\) \(\left(C_m\right)\). Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị \(\left(C_m\right)\) tại điểm có hoành độ \(x_0=1\) luôn cắt đồ thị \(\left(C_m\right)\) tại 3 điểm phân biệt. Tìm tọa độ các giao điểm.
Bài giải :
Ta có : \(y'=4x^3-16x\)
Vì \(x_0=1\Rightarrow y_0=m-6\)
\(y'\left(x_0\right)=-12\)
Phương trình tiếp tuyến d của \(\left(C_m\right)\)tại điểm có hoành độ \(x_0=1\) là :
\(y=-12\left(x-1\right)+m-6=-12x+m+6\)
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(C_m\right)\) với d là :
\(x^4-8x^2+m+1=-12x+m+6\Leftrightarrow x^4-8x^2+12x-5=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^2+2x-5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=1;x=-1\pm\sqrt{6}\)
Vậy d và \(\left(C_m\right)\) luôn cắt nhau tại 3 điểm phân biệt :
\(A\left(1;m-6\right);B\left(-1\pm\sqrt{6};m+18\right)\) (vì \(m-6\ne m+18\))
Ví dụ 2 : Cho hàm số \(y=-x^4-\frac{1}{2}x^2+6\left(C\right)\). Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của (C) biết :
a. \(\Delta\) vuông góc với đường thẳng \(d:y=\frac{1}{5}x-1\)
b.\(\Delta\) tạo với hai đường thẳng \(d_1:2x-y+2=0\)
\(d_2:x-2y+3=0\) một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của \(d_1,d_2\)
Bài giải
giải :Tập xác định : D = R
Gọi tiếp điểm là \(M\left(x_0;y_0\right);y'=-4x^3-x\)
Hệ số góc của \(\Delta\) là \(k=y'\left(x_0\right)\)
a. Vì \(\Delta\perp d\) nên \(\frac{1}{5}.k=-1\Leftrightarrow k=-5\Leftrightarrow-4x^3_0-x_0=-5\Leftrightarrow x_0=1\)
(Chú ý: \(-4x_0^3-x_0=-5\Leftrightarrow\left(-4x_0^3+4x\right)-\left(5x_0-5\right)=0\Leftrightarrow\left(x_0-1\right)\left(4x_0^2+4x+5\right)=0\Leftrightarrow x_0=1\))
\(x_0=1\Rightarrow y\left(x_0\right)=-1-\frac{1}{2}+6=\frac{9}{2}\Rightarrow\Delta:y=-5\left(x-1\right)+\frac{9}{2}\Leftrightarrow\Delta:y=-5x+\frac{19}{2}\)
Vậy tiếp tuyến vuông góc với d của (C) là \(\Delta:y=-5x+\frac{19}{2}\)
b. Phân giác của hai đường thẳng \(d_1;d_2\) là :
\(\frac{\left|2x-y+2\right|}{\sqrt{5}}=\frac{\left|x-2y+3\right|}{\sqrt{5}}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}y=-x+1\\y=x+\frac{5}{3}\end{array}\right.\)
Từ giả thiết suy ra \(\Delta\) vuông góc với các đường phân giác của \(d_1;d_2\) nên hệ số góc của \(\Delta\) là \(\pm1\) ( \(\Delta\) không đi qua giao điểm của \(d_1;d_2\)
* Trường hợp 1 : Với k = 1 ta có \(-4x^3_0-x_0=1\Leftrightarrow x_0=-\frac{1}{2}\Rightarrow y_0=\frac{93}{16}\)
Suy ra \(\Delta:y-\frac{93}{16}=x+\frac{1}{2}\) hay \(y=x+\frac{101}{16}\)
* Trường hợp 2 : Với k = -1 ta có \(-4x^3_0-4x_0=-1\Leftrightarrow x_0=\frac{1}{2}\)
Suy ra \(\Delta:y-\frac{93}{16}=x-\frac{1}{2}\) hay \(y=x+\frac{85}{16}\)
Các dạng toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số