Question

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [ a;b ] và thỏa mãn điều kiện f(x) = f( a + b - x )  ∀ x ∈ a ; b . Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?

A.  ∫ a b x f x d x = - a + b ∫ a b f x d x

B.  ∫ a b x f x d x = a + b ∫ a b f x d x

C.  ∫ a b x f x d x = - a + b 2 ∫ a b f x d x

D.  ∫ a b x f x d x = a + b 2 ∫ a b f x d x

Answer 1

Đặt t = a + b - x nên dx = -dt

Đổi cận: x = a nên t = b; x = b nên t = a

Khi đó : 

∫ a b x f x d x = ∫ a b x f a + b - x d x = - ∫ b a a + b - t f t d t = ∫ a b a + b - t f t d t = a + b ∫ a b f t d t - ∫ a b t f t = a + b ∫ a b f x d t - ∫ a b x f x

Do đó  ∫ a b x f x d x = a + b 2 ∫ a b f x d x

Đáp án D