Question

Cho hàm số y = f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0 ; 1  và f 0 + f 1 = 0.  Biết rằng tích phân ∫ 0 1 f 2 x d x = 1 2 , ∫ 0 1 f ' x . c o s π x d x = π 2 . Tính tích phân ∫ 0 1 f x d x ?

A.  3 π 2 .

B.  2 π .

C.  π .

D.  1 π .

Answer 1

Đáp án B.

Ta có ∫ 0 1 f ' x . c o s π x d x

= ∫ 0 1 c o s π x d f x = f x . c o s π x 0 1 − ∫ 0 1 f x . c o s π x ' d x  

= − f 1 + f 0 + π ∫ 0 1 f x . sin π x d x = π 2 ⇒ ∫ 0 1 f x . sin π x d x = 1 2 .  

Xét ∫ 0 1 f x + k . sin π x 2 d x = 0

⇔ ∫ 0 1 f 2 x d x + 2 k . ∫ 0 1 f x . sin π x d x + k 2 . ∫ 0 1 sin 2 π x d x = 0  

⇔ 1 2 k 2 + 2 k . 1 2 + 1 2 = 0 ⇔ k + 1 2 = 0 ⇔ k = − 1.

Suy ra ∫ 0 1 f x − sin π x 2 d x = 0.  

Vậy f x = sin π x ⇒ ∫ 0 1 f x d x = ∫ 0 1 sin π x d x = 2 π .