Question

Cho hàm số y = 1 x . Khi đó y n x  bằng (đạo hàm cấp n của hàm số)

A. y n x = − 1 n n ! x n + 1

B. y n x = n ! x n + 1

C. y n x = − 1 n n ! x n

D. y n x = n ! x n

Answer 1

Đáp án A

Ta có y ' = − 1 x 2 = − 1 1 . 1 ! x 2 ; y ' ' = − 2 x 3 = − 1 2 . 2 ! x 3 ; y ' ' ' = − 6 x 4 = − 1 3 . 3 ! x 4 .

 Dự đoán y n = − 1 n . n ! x n + 1 * . Chứng minh mệnh đề (*):

* Với n=1 thì * ⇔ y ' = − 1 x 2 . Khi đó (*) đúng.

* Giả sử (*) đúng với  n = k , k ≥ 1 , tức là  y k = − 1 k . k ! x k + 1 .

Khi đó y k + 1 = y k ' = − 1 k . k ! x k + 1 = − 1 k . − k + 1 . k ! . x k x k + 1 2 = − 1 k + 1 . k + 1 ! x k + 2 . Vậy mệnh đề (*) cũng đúng với n=k+1 nên nó đúng với mọi n.