Question

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn 2 f x + 3 f − x = 1 4 + x 2 . Tính tích phân I = ∫ − 2 2 f x d x .

A. I = π 10

B. I = − π 10 .

C. I = π 20 .

D. I = − π 20 .

Answer 1

Đáp án C

Lấy tích phân hai vế của biểu thức 2 f x + 3 f − x = 1 4 + x 2 , ta được

2 ∫ − 2 2 f x d x + 3 ∫ − 2 2 f − x d x = ∫ − 2 2 1 4 + x 2 d x ⇔ 2 I + 3 ∫ − 2 2 f − x d x = π 4

Xét  J = ∫ − 2 2 f − x d x   . Đặt  t = − x ⇒ d t = − d x   . Đổi cận:  x = − 2 → t = 2 x = 2 → t = − 2   .

Suy ra 

J = − ∫ 2 − 2 f t d t = ∫ − 2 2 f t d t = ∫ − 2 2 f x d x = I

Vậy

2 I + 3 ∫ − 2 2 f − x d x = π 4 ⇔ 2 I + 3 I = π 4 ⇔ I = π 20