Question

Cho hàm số f x  liên tục, không âm trên đoạn 0 ; π 2  thỏa mãn f 0 = 3  và f x . f ' x = cos x . 1 + f 2 x , ∀ x ∈ 0 ; π 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f x  trên đoạn  π 6 ; π 2

A.  m = 21 2 , M = 2 2

B.  m = 5 2 , M = 3

C.  m = 5 2 , M = 3

D.  m = 3 , M = 2 2

Answer 1

Chọn đáp án A

Từ giả thiết

 

Suy ra

Từ (1) và (2) suy ra  1 + f 2 x = sin x + C

Thay x = 0 vào ta được:

do f 0 = 3  

Suy ra 

do hàm số f x liên tục, không âm trên 0 ; π 2  

Đặt t = sin x

Xét hàm số g t = t 2 + 4 t + 3  trên 1 2 ; 1  

Ta có

⇒ Hàm số g t đồng biến trên 1 2 ; 1

Khi đó