Question

Cho hai số tự nhiên m,n và 2 số dương a,b. CMR:

\(a^{m+n}+b^{m+n}\ge a^m.b^n+a^n.b^m\)

Answer 1

\(m.a^{m+n}+n.b^{m+n}=a^{m+n}+a^{m+n}+...+a^{m+n}+b^{m+n}+...+b^{m+n}\) ( m số hạng \(a^{m+n}\) và \(n\) số hạng \(b^{m+n}\), tổng cộng có \(m+n\) số hạng)

\(\Rightarrow m.a^{m+n}+n.b^{m+n}\ge\left(m+n\right)\sqrt[m+n]{a^{m\left(m+n\right)}.b^{n\left(m+n\right)}}=\left(m+n\right)a^m.b^n\)

Tương tự ta có \(n.a^{m+n}+m.b^{m+n}\ge\left(m+n\right)a^n.b^m\)

Cộng với vế vế ta được:

\(\left(m+n\right)a^{m+n}+\left(m+n\right)b^{m+n}\ge\left(m+n\right)a^mb^n+\left(m+n\right)a^nb^m\)

\(\Rightarrow a^{m+n}+b^{m+n}\ge a^mb^n+a^nb^m\)