Question

Cho hai số thực x,y thỏa mãn \(x^2+y^2-xy=1\) . Tìm số thực k lớn nhất sao cho \(x^4+y^4-x^2y^2\ge k\)

 

Answer 1

Đặt \(x^2+y^2=a;xy=b\) \(\Rightarrow a-b=1\Leftrightarrow b=a-1\)

Từ giả thiết:\(x^2+y^2-xy=1\Leftrightarrow x^2+y^2+\left(x-y\right)^2=2\ge x^2+y^2\)

Và \(2x^2+2y^2=2xy+2\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2\right)=\left(x+y\right)^2+2\ge2\)\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{2}{3}\)

Suy ra:\(\frac{2}{3}\le a\le2\)

Ta có:\(x^4+y^4-x^2y^2=\left(x^2+y^2\right)^2-3x^2y^2=a^2-3b^2=-2a^2+6a-3\)

Đến đây vẽ bảng biến thiên ra :))