Question

Cho hai số không âm a và b thoả mãn a²+b²=a+b. Tìm GTLN của biểu thức:

\(S=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\)

Answer 1

Ta CM BĐT \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)

\(\Rightarrow a+b\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)(do a²+b²=a+b) 

\(\Rightarrow2\ge a+b\) 

Ta có: \(S=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}=2-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+1+b+1}\ge1\)

\(\Rightarrow S=2-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\le1\) 

Dấu "=" xảy ra khi: a=b=1