Question

Cho hai số chính phương liên tiếp . CMR tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là 1 số chính phương lẻ

Answer 1

- Giả sử 2 số đó có dạng \(\left(2n\right)^2\) và \(\left(2n+1\right)^2\)

\(\Rightarrow A=\left(2n\right)^2+\left(2n+1\right)^2+\left(2n\right)^2\left(2n+1\right)^2\)

\(=4n^2+\left(2n+1\right)^2+4n^2\left(4n^2+4n+1\right)\)

\(=16n^4+16n^3+8n^2+\left(2n+1\right)^2\)

\(=\left(4n^2\right)^2+2.4n^2\left(2n+1\right)+\left(2n+1\right)^2\)

\(=\left(4n^2+2n+1\right)^2\)

\(\Rightarrow A\) là số chính phương, mà \(4n^2+2n+1=2\left(2n^2+n\right)+1\) lẻ \(\Rightarrow A\) là số chính phương lẻ (đpcm)

- Chứng minh tương tự cho trường hợp \(\left(2n-1\right)^2\) và \(\left(2n\right)^2\)