Bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Mai Thành Đạt

Cho hai số a,b thỏa mãn \(ab\ge1\)

Chứng minh rằng:\(\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}\ge\dfrac{2}{1+ab}\)

Mỹ Duyên
15 tháng 4 2017 lúc 20:54

Dùng phương pháp biến đổi tương đương nhé!!!

Ta có : \(\dfrac{1}{1+a^2}\) + \(\dfrac{1}{1+b^2}\) \(\ge\) \(\dfrac{2}{1+ab}\)

<=>( \(\dfrac{1}{1+a^2}\) - \(\dfrac{1}{1+ab}\) ) + ( \(\dfrac{1}{1+b^2}\) - \(\dfrac{1}{1+ab}\) ) \(\ge\) 0

<=> \(\dfrac{1+ab-1-a^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}\) + \(\dfrac{1+ab-1-b^2}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\) \(\ge\) 0

<=> \(\dfrac{ab-a^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}\) + \(\dfrac{ab-b^2}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\) \(\ge\) 0

<=> \(\dfrac{a\left(b-a\right)\left(1+b^2\right)+b\left(a-b\right)\left(1+a^2\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\) \(\ge\) 0

<=> \(a\left(b-a\right)\left(1+b^2\right)-b\left(b-a\right)\left(1+a^2\right)\) \(\ge\) 0

<=> \(\left(b-a\right)\left(a+ab^2-b-a^2b\right)\) \(\ge\) 0

<=> \(\left(b-a\right)\left[ab\left(b-a\right)-\left(b-a\right)\right]\) \(\ge\) 0

<=> \(\left(b-a\right)\left(b-a\right)\left(ab-1\right)\) \(\ge\) 0

<=> \(\left(b-a\right)^2\left(ab-1\right)\) \(\ge\) 0 (1)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(b-a\right)^2\ge0\\ab-1\ge0\end{matrix}\right.\) ( vì ab \(\ge\)1)

=> \(\left(b-a\right)^2\left(ab-1\right)\) \(\ge\) 0

=> (1) luôn đúng

Vậy đpcm ....

BW_P&A
17 tháng 4 2017 lúc 20:29

Ta có: \(\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}\ge\dfrac{2}{1+ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{1+a^2}-\dfrac{1}{1+b^2}\right)+\left(\dfrac{1}{1+b^2}-\dfrac{1}{1+ab}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{ab-a^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\dfrac{ab-b^2}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a\left(b-a\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\dfrac{b\left(a-b\right)}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(b-a\right)^2\left(ab-1\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)

BĐT cuối cùng đúng vì \(a.b\ge1\Rightarrowđpcm\)


Các câu hỏi tương tự
trang nguyễn
Xem chi tiết
Hung Hai
Xem chi tiết
Min
Xem chi tiết
Nghịch Dư Thủy
Xem chi tiết
Nghịch Dư Thủy
Xem chi tiết
Luyện Thanh Mai
Xem chi tiết
asuna
Xem chi tiết
Vi Võ Tường
Xem chi tiết
Dương Thị Trà My
Xem chi tiết