Ta có:
\(\left(a^2+b^2\right)^2=a^4+b^4+2a^2b^2\)=> \(a^2b^2=\frac{1}{4}\)
\(a^2+b^2=\frac{1}{2^0}\)
\(a^4+b^4=\frac{1}{2^1}\)
\(a^6+b^6=\left(a^4+b^4\right)\left(a^2+b^2\right)-a^2b^2\left(a^2+b^2\right)=\frac{1}{2}.1-\frac{1}{4}.1=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}\)
\(a^8+b^8=\left(a^6+b^6\right)\left(a^2+b^2\right)-a^2b^2\left(a^4+b^4\right)=\frac{1}{4}.1-\frac{1}{4}.\frac{1}{2}=\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}\)
...
Như vậy chúng ta sẽ đoán được: \(a^{2n+2}+b^{2n+2}=\frac{1}{2^n}\)(1) với n là số tự nhiên.
Chúng ta chứng minh (1) quy nạp theo n.
+) Với n = 0; có: \(a^2+b^2=\frac{1}{2^0}=1\)đúng
=> (1) đúng với n = 1
+) Giả sử (1) đúng cho tới n
khi đó: \(a^{2n+2}+b^{2n+2}=\frac{1}{2^n}\)
+) Ta chứng minh (1) đúng với n + 1
Ta có: \(a^{2\left(n+1\right)+2}+b^{2\left(n+1\right)+2}=a^{2n+4}+b^{2n+4}\)
\(=\left(a^{2n+2}+b^{2n+2}\right)\left(a^2+b^2\right)-a^2b^2\left(a^{2n}+b^{2n}\right)\)
\(=\frac{1}{2^n}.1-\frac{1}{4}.\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n+1}}\)
=> (1) đúng với n + 1
Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n.
Do đó:
\(P=a^{2020}+b^{2020}=a^{2.1009+2}+b^{2.1009+2}=\frac{1}{2^{1009}}\)
Cảm ơn bạn rất nhiều.
