Question

Cho hai phương trình: \(x^2+ax+2b=0\) và \(x^2+bx+2a=0\) với a, b là các số thực, \(a\ne b\). Chứng minh rằng: nếu hai phương trình trên có duy nhất 1 nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của hai phương trình này là nghiệm của phương trình \(x^2+2x+ab=0\).

Answer 1

Gọi \(x_0\) là nghiệm chung của 2 pt

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0^2+ax_0+2b=0\\x_0^2+bx_0+2a=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)x_0+2b-2a=0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)x_0=2\left(a-b\right)\)

\(\Rightarrow x_0=2\)

Thay vào \(\Rightarrow4+2a+2b=0\Rightarrow a+b=-2\Rightarrow b=-2-a\)

Xét pt thứ nhất:

\(x^2+ax+2\left(-2-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-4+ax-2a=0\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x+a+2\right)=0\Rightarrow x=-a-2=b\) là nghiệm còn lại

Xét pt thứ hai:

\(x^2-\left(a+2\right)x+2a=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-a\right)-2\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-a\right)=0\Rightarrow x=a\) là nghiệm còn lại

Theo đl Viet đảo, 2 nghiệm còn lại là nghiệm của:

\(x^2-\left(a+b\right)x+ab=0\Leftrightarrow x^2+2x+ab=0\) (do \(a+b=-2\))