Cho hai đường thẳng cố định a và b chéo nhau. Gọi AB là đoạn vuông góc chung của a và b (A thuộc a, B thuộc b). Trên a lấy điểm M (khác A), trên b lấy điểm N (khác B) sao cho A M = x , B N = y , x + y = 8 . Biết A B = 6 , góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 60 0 . Khi thể tích khối tứ diện ABNM đạt giá trị lớn nhất hãy tính độ dài đoạn MN (trong trường hợp M N > 8 ).
A. 2 21
B. 12
C. 2 39
D. 13
Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau d và △ , vuông góc với nhau và nhận AB=a làm đoạn vuông góc chung A ∈ d , B ∈ △ . Trên d lấy điểm M, trên △ lấy điểm N sao cho AM=2a, BN=4a. Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BI là
A. 4 a 17 17
B. a
C. 4 a 5
D. 2 a 2 3
AB là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng ∆ , ∆ ' chéo nhau, A ∈ ∆ , B ∈ ∆ ' , A B = a ; M là điểm di động trên ∆ , N là điểm di động trên ∆ ' . Đặt A M = m , A N = n m ≥ 0 , n ≥ 0 . Giả sử ta luôn có m 2 + n 2 = b với b > 0 không đổi. Xác định m, n để độ dài đoạn MN đạt giá trị lớn nhất.
A. m = n = a b 2
B. m = n = b 2
C. m = a 2 ; n = b 2
D. m = a b 2 ; n = a + b 2
AB là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng ∆ , ∆ ' chéo nhau, A B ∈ ∆ , B ∈ ∆ ' , A B = a M là điểm di động trên ∆ , N là điểm di động trên ∆ ' . Đặt AM=m, AN=n m , n ≥ 0 . Giả sử ta luôn có m 2 + n 2 = b với b>0, b không đổi. Xác định m, n để độ dài đoạn MN đạt giá trị lớn nhất
A. m = n = a b 2
B. m = n = b 2
C. m = a 2 , n = b 2
D. m = a b 2 , n = a + b 2
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3), B(3;4;5) và mặt phẳng ( α ) :x+2y+3z-14=0. Gọi Δ là đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng ( α ) , các điểm M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,B trên Δ . Biết rằng khi AM = BN thì trung điểm của MN luôn thuộc một đường thẳng cố định. Viết phương trình đường thẳng cố định đó.
A. x = 4 + t y = 5 - 2 t z = 1 + t
B. x = 5 + t y = 3 - 2 t z = 1 + t
C. x = 2 + t y = 1 - 2 t z = 3 + t
D. x = 4 + t y = 5 + 2 t z = t
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : x - 2 1 = y - 5 2 = z - 2 1 , d ' : x - 2 1 = y - 1 - 2 = z - 2 1 và hai điểm A(a;0;0), A’(0;0;b). Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và d’; H là giao điểm của đường thẳng AA’ và mặt phẳng (P). Một đường thẳng thay đổi trên (P) nhưng luôn đi qua H đồng thời D cắt d và d’ lần lượt tại B, B’. Hai đường thẳng AB, A’B’ cắt nhau tại điểm M. Biết điểm M luôn thuộc một đường thẳng cố định có vectơ chỉ phương u → = 15 ; - 10 ; - 1 (tham khảo hình vẽ). Tính a+b
A. 8
B. 9
C. -9
D. 6
Cho hàm số y = x + 1 x − 1 có đồ thị (C) và hai điểm M 0 ; 4 , N − 1 ; 2 . Gọi A;B là 2 điểm trên (C) sao cho các tiếp tuyến của (C) tại A và B song song đồng thời tổng khoảng cách từ M và từ N đến đường thẳng AB là lớn nhất. Tính độ dài đoạn thẳng AB
A. 5 6 3
B. 4 13 3
C. 2 5
D. 65
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
d : x - 2 1 = y - 5 2 = z - 2 1 , d ' : x - 2 1 = y - 1 - 2 = z - 2 1 và hai điểm A a ; 0 ; 0 , A ' 0 ; 0 ; b . Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và d '; H là giao điểm của đường thẳng AA' và mặt phẳng (P). Một đường thẳng ∆ thay đổi trên (P) nhưng luôn đi qua H đồng thời ∆ cắt d và d ' lần lượt là B, B '. Hai đường thẳng AB, A'B' cắt nhau tại điểm M. Biết điểm M luôn thuộc một đường thẳng cố định có vectơ chỉ phương u → = 15 ; - 10 ; - 1 (tham khảo hình vẽ). Tính T= a+b
A. T = 8
B. T = 9
C. T = - 9
D. T = 6
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a, trên đường thẳng ∆ đi qua A vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm M bất kì. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên MC, AC và đường thẳng ∆ cắt EF tại N (như hình bên). Khi đó thể tích của tứ diện MNBC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
A. a 3 6 4 .
B. a 3 3 4 .
C. a 3 3 6 .
D. a 3 6 12 .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(3;2;0), C(-1;2;4). Gọi M là điểm thay đổi sao cho đường thẳng MA, MB, MC hợp với mặt phẳng (ABC) các góc bằng nhau; N là điểm thay đổi nằm trên mặt cầu (S): ( x - 3 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - 3 ) 2 = 1 3 . Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN
A. 3 2 2
B. 2
C. 2 2
D. 5
