Cho góc xOy nhọn, lấy điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy sao cho OA=OB. Từ điểm A vẽ đường thẳng a vuông góc với OA . Từ điểm B vẽ đường thẳng b vuông góc với OB. Hai đường thẳng a và b cắt nhau tại I.
a) Chứng minh ΔOAI = ΔOBI và Oi là tia phân giác góc AOB
b)Cho tia Ai cắt Oy tại C, tia Bi cắt tia Ox tại D. Chứng minh ΔDAI = ΔCBI và ΔICD cân
c)Cho M trung điểm của CD và giả sử OI = 2IM , khi đó ΔOCD là tam giác gì? Vì sao?
a: Xét ΔOAI vuông tại A và ΔOBI vuông tại B có
OI chung
OA=OB
Do đó: ΔOAI=ΔOBI
=>\(\widehat{AOI}=\widehat{BOI}\)
=>OI là phân giác của góc AOB
b: ΔOAI=ΔOBI
=>IA=IB
Xét ΔIAD vuông tại A và ΔIBC vuông tại B có
IA=IB
\(\widehat{AID}=\widehat{BIC}\)
Do đó: ΔIAD=ΔIBC
=>ID=IC
=>ΔIDC cân tại I
c: Ta có: ΔIAD=ΔIBC
=>AD=BC
Ta có: OA+AD=OD
OB+BC=OC
mà OA=OB và AD=BC
nên OD=OC
=>O nằm trên đường trung trực của CD(1)
Ta có: IC=ID
=>I nằm trên đường trung trực của CD(2)
Ta có: MC=MD
=>M nằm trên đường trung trực của CD(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra O,I,M thẳng hàng
OI=2IM
=>\(OI=\dfrac{2}{3}OM\)
Xét ΔOCD có
OM là đường trung tuyến
\(OI=\dfrac{2}{3}OM\)
Do đó: I là trọng tâm của ΔOCD
=>DI cắt OC tại trung điểm của OC
=>B là trung điểm của OC
Xét ΔDBO vuông tại B và ΔDBC vuông tại B có
DB chung
BO=BC
Do đó: ΔDBO=ΔDBC
=>DC=DO
mà DO=OC
nên DC=DO=OC
=>ΔODC đều
