Gọi h(x) là thương trong phép chia f(x) cho g(x)
Vì f(x) bậc 3, g(x) bậc 2 => h(x) bậc nhất
=> h(x) có dạng cx + d
f(x) ⋮ g(x) <=> f(x) = g(x).h(x)
<=> x3 + ax2 + 2x + b = ( x2 + x + 1 )( cx + d )
<=> x3 + ax2 + 2x + b = cx3 + dx2 + cx2 + dx + cx + d
<=> x3 + ax2 + 2x + b = cx3 + ( d + c )x2 + ( d + c )x + d
Đồng nhất hệ số ta có :
\(\hept{\begin{cases}c=1\\d+c=a=2\\d=b\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\b=c=d=1\end{cases}}\)
Vậy a = 2 , b = 1
Vì \(f \left(x\right)⋮g\left(x\right)\)\(\Rightarrow\)\(f\left(x\right)=g\left(x\right).Q\left(x\right)\)
Đặt \(Q\left(x\right)=cx+d\) \(\left(c,d\ne0\right)\)
\(\Rightarrow\)\(f\left(x\right)=\left(x^2+x+1\right).\left(cx+d\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(f\left(x\right)=cx^3+dx^2+cx^2+dx+cx+d\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^3+ax^2+2x+b=cx^3+\left(d+c\right)x+\left(d+c\right)x+d\)
Đồng nhất hệ số, ta có:
\(c=1\) \(a=2\)
\(d+c=a\) \(\Leftrightarrow\) \(b=1\)
\(d+c=2\) \(c=1\)\(\left(TM\right)\)
\(d=b\) \(d=1\)\(\left(TM\right)\)
Vậy \(f \left(x\right)⋮g\left(x\right)\)khi \(\hept{\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}}\)
Ta có f(x) : g(x)
= (x3 + ax2 + 2x + b) : (x2 + x + 1)
= x + a - 1 dư (2 - a)x - a + 1 + b
Để f(x) \(⋮\)g(x)
=> (2 - a)x - a + 1 + b = 0 \(\forall\)x
=> (2 - a)x - a + 2 + b - 1 = 0
=> (2 - a)(x - 1) + b - 1 = 0
=> \(\hept{\begin{cases}2-a=0\\b-1=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}}\)
Vậy khi a = 2 ; b = 1 thì f(x) \(⋮\)g(x)
