Question

Cho f(x) là một hàm liên tục trên R và a là một số thực lớn hơn 1. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. ∫ 0 a x 3 f x 2 d x = 1 2 ∫ 0 a 2 x f x d x

B. ∫ 0 π x f sin x d x = π 2 ∫ 0 π f sin x d x

C. ∫ − π π x f cos x d x = 0

D. ∫ 1 a 2 f x x d x = 1 2 ∫ 1 a f x d x

Answer 1

Đáp án D.

Với A: Đặt

∫ 0 a x 3 f x 2 d x = 1 2 ∫ 0 a x 2 . f x 2 2 x d x = 1 2 ∫ 0 a x 2 . f x 2 d x 2 = 1 2 ∫ 0 a 2 x . f x d x

 Vậy A đúng.

Với B: 

∫ 0 π x . f sin x d x = ∫ 0 π 2 x . f sin x d x + ∫ π 2 π x . f sin x d x = I 1 + I 2

Tính I 2 : Đổi biến t = π − x ⇒ x = π − t ; d x = − d t .

Đổi cận x = π → t = 0 ; x = π 2 → t = π 2 .

Từ đó

  I 2 = − ∫ π 2 0 f sin π − t π − t d t = π ∫ 0 π 2 f sin t d t − I 1    

⇒ I = π ∫ 0 π 2 f sin x d x = π 2 ∫ 0 π f sin x d x

 Vậy B đúng.

Với C: Đổi biến tương tự B ta thấy C đúng.

Từ đây ta chọn D.

Thật vậy,

∫ 1 a 2 f x x d x = 2 ∫ 1 a 2 f x 2 x d x = 2 ∫ 1 a 2 f x d x = 2 ∫ 1 a f x d x