Question

Cho \(\frac{m}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1998}\) với m,n > 0

CM Rằng : m chia hét cho 1999 . Nêu bài toán tổng quát

Answer 1

ta có:\(\frac{m}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1998}\)

\(=\left(1+\frac{1}{1998}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{1997}\right)+...+\left(\frac{1}{999}+\frac{1}{1000}\right)\)

\(=\frac{1999}{1.1998}+\frac{1999}{2.1997}+...+\frac{1999}{999.1000}\)

quy đồng phân số,ta chọn MC:1.2.3...1997.1998

gọi các thừa số phụ tương ứng là a₁,a₂,...,a₉₉₉

\(\frac{m}{n}=1999\left(\frac{a_1+a_2+...+a_{999}}{1.2.3....1997.1998}\right)\)

do 1999 là số nguyên tố.sau khi rút gọn vẫn còn thừa số 1999

=>m chia hết 1999 (đpcm)

Answer 2

m/n= 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/1998

m/n= (1+1/1998) + (1/2+1/1997) + ... + (1/999 + 1/1000)

m/n= 1999/1998  +  1999/2.1997  +  ....  +  1999/999.1000

m/n= 1999. (1/k1 + 1/k2 +.... + 1/k999)

m= 1999. (1/k1 + 1/k2 + .... + 1/k999). n

=> m chia hết 1999