Để chứng minh HM.KN=HN.KM, ta sẽ sử dụng định lí Ptolemy cho tứ giác HMIN và KMNO.
Ta có:
Tứ giác HMIN là tứ giác nội tiếp do hai tiếp tuyến IM và IN của đường tròn (O).
Tứ giác KMNO là tứ giác điều hòa do K là điểm đối xứng của M qua O.
Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác HMIN, ta được:
HM.IN + HN.IM = HI.MN
Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác KMNO, ta được:
KM.NO + KO.MN = KN.MO
Vì K là điểm đối xứng của M qua O nên KO=OM. Thay vào biểu thức trên, ta được:
KM.NO + OM.MN = KN.MO
KM.NO + MN² = KN.MO
Nhân cả hai vế của phương trình trên với IM.IN, ta được:
KM.NO.IM.IN + MN².IM.IN = KN.MO.IM.IN
HM.KN + MN².IM.IN = HN.KM.IM.IN
Từ đó suy ra:
HM.KN = HN.KM + MN²/IM.IN
Nhưng IM và IN lần lượt là đường cao của tam giác HIM và tam giác HIN nên:
IM.IN = HM.HN
Thay vào biểu thức trên, ta được:
HM.KN = HN.KM + MN²/HM.HN
Ta thấy rằng tam giác HIM và tam giác HIN đồng dạng nên:
HM/HN = IM/IN
Thay vào biểu thức trên, ta được:
HM.KN = HN.KM + MN².IM²/IN²
Vì tam giác HIM và tam giác HIN đồng dạng nên:
IM/IN = HM/HN
Thay vào biểu thức trên, ta được:
HM.KN = HN.KM + MN².HM²/HN²
Điều này chứng tỏ HM.KN=HN.KM nên ta đã chứng minh được điều phải chứng minh.
