Question

Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định không đia qua tâm O; C và D là hai điểm di động trên cung lớn AB sao cho AD và BC luôn song song với nhau. Gọi M là giao điểm của

AC và BD. Chứng minh rằng:

a) Góc AMB bằng góc AOB, suy ra tứ giác AOMB nội tiếp.

b) OM vuông BC.

c) Đường thẳng d đi qua M và song song với AD luôn đi qua một điểm cố định.

Answer 1

a.xét tứ giác AOMB có

 ∠AOB = ∠ AMB (góc ở tâm cùng chắn cung AB)
=> Tứ giác AOMB nội tiếp

b.vì AD//BC ⇒ ABCD là hình thang, hình thang ABCD lại nội tiếp O
⇒ ABCD là hình thang cân
mà M là giao điểm hai đường chéo
⇒ MB = MC (tính chất hình thang cân)
ΔOMB và ΔOMC có:
OB = OC = R
OM chung
MB = MC (cmt)
⇒Δ OMB =Δ OMC (c.c.c)
⇒góc MOB = góc MOC (góc tương ứng)
⇒OM là đường phân giác góc BOC hay đường phân giác góc BOC của ΔOBC
Mà ΔOBC là tam giác cân tại O (có OB = OC = R)
⇒OM là đường trung trực của tam giác cân OBC
⇒OM ⊥BC (đpcm)

c.vì OM ⊥ BC⇒OM thẳng góc AD
⇒theo tính chất dây và đường kính OM là trung trực của AD và BC
có d//AD
⇒d thẳng góc OM
vì AB cố định nên đường thẳng OM không đổi
vì đường thẳng OM không đổi mà d luôn thẳng góc OM
⇒ d đi qua một điểm cố định trên cung AB nhỏ (đpcm)