Question

Cho dt (O), BC là 1 dây khác đường kính. Kẻ các tiếp tuyến vs (O) tại B, C cắt nhau ở A. Trên cung nhỏ AB lấy điểm M, kẻ các đường vuông góc MI,MH,MK xuống BC,AC,AB. Gọi BM cắt IK ở P, CM cắt IH ở Q.

1) C/M tg ABC cân

2) c/m tứ giác BIMK, CHMI nt

3) c/m MI^2= MH.MK

4) c/m PQ vuông góc MI

Answer 1

1) Xét đường tròn (O) có 2 điểm B và C nằm trên đường tròn, 2 tiếp tuyến tại B và C cắt tại A

=> AB=AC => \(\Delta\)ABC cân tại A (đpcm).

2) Xét tứ giác BIMK: ^MKB=^MIB=90⁰ . => ^MKB+^MIB=180⁰ => Tứ giác BIMK nội tiếp đường tròn

Tương tự ta được tứ giác CHMI nội tiếp đường tròn.

3) Ta thấy: Tứ giác BIMK nội tiếp đường tròn => ^KBI + ^KMI =180⁰

hay ^ABC + ^KMI = 180⁰ (1)

Tương tự: ^ACB + ^IMH = 180⁰ (2)

Từ (1) và (2) kết hợp với ^ABC=^ACB (Do \(\Delta\)ABC cân tại A) => ^KMI=^IMH

Tứ giác CHMI nội tiếp => ^MIH=^MCH

Dễ thấy ^MCH=^MBC => ^MIH=^MBC (=^MBI). Mà ^MBI=^MKI (Tứ giác BIMK nt đường tròn)

=> ^MIH=^MKI

Xét \(\Delta\)IMH và \(\Delta\)KMI: ^MIH=^MKI; ^IMH=^KMI (cmt) => \(\Delta\)IMH ~ \(\Delta\)KMI (g.g)

Suy ra \(\frac{MI}{MK}=\frac{MH}{MI}\Rightarrow MI^2=MH.MK\)(đpcm).

4) Ta có: ^KBM = ^MCB. Mà ^KBM=^KIM => ^KIM=^MCB

Tương tự: ^MIH=^MBC

Từ đó: ^KIM + ^MIH = ^MCB + ^MBC => ^PIQ = 180⁰ - ^BMC = 180⁰ - ^PMQ

=> ^PIQ + ^PMQ = 180⁰ => Tứ giác MPIQ nội tiếp đường tròn => ^MIQ=^MPQ hay ^MIH=^MPQ

Mà ^MIH = ^MKI = ^MBI (cmt) => ^MIH=^MBI.

Lại có 2 góc trên nằm ở vị trí đồng vị => PQ//BC. Mà MI vuông góc với BC

=> PQ vuông góc MI (đpcm).