Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O;R).Gọi AB.AC là hai tiếp tuyến của đường tròn(A và B là hai tiếp điểm).Từ A vẽ một tia cắt đường tròn ở E và F.( E nằm giữa A và F).
a) Chứng minh tam giác AEC và tam giác ACF đồng dạng.Suy ra AC2 = AE.AF
b) Gọi I là trung điểm của EF .Chứng minh 5 điểm A,B,O,I,C cùng nằm trên một đường tròn.
c) Từ E vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt BC tại M.Chứng minh tứ giác EMIC nội tiếp được trong đường tròn.Suy ra tứ giác MIFB là hình thang.
d) Giả sử cho OA = R
.Tính theo R phần diện tích tứ giác ABOC nằm ở phía ngoài hình tròn (O).
a) Xét (O) có
\(\widehat{EFC}\) là góc nội tiếp chắn cung EC
\(\widehat{ACE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CA và dây cung CE
Do đó: \(\widehat{EFC}=\widehat{ACE}\)(Hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
hay \(\widehat{ACE}=\widehat{AFC}\)
Xét ΔACE và ΔAFC có
\(\widehat{ACE}=\widehat{AFC}\)(cmt)
\(\widehat{EAC}\) chung
Do đó: ΔACE\(\sim\)ΔAFC(g-g)
Suy ra: \(\dfrac{AC}{AF}=\dfrac{AE}{AC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(AC^2=AE\cdot AF\)(Đpcm)
b) Xét ΔOEF có OE=OF(=R)
nên ΔOEF cân tại O(Định nghĩa tam giác cân)
Ta có: ΔOEF cân tại O(Cmt)
mà OI là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy EF(I là trung điểm của EF)
nên OI là đường cao ứng với cạnh EF(Định lí tam giác cân)
\(\Leftrightarrow OI\perp EF\)
Ta có: \(\widehat{OIA}=90^0\left(OI\perp EF\right)\)
nên I nằm trên đường tròn đường kính OA(1)
Ta có: \(\widehat{OBA}=90^0\left(gt\right)\)
nên B nằm trên đường tròn đường kính OA(2)
Ta có: \(\widehat{OCA}=90^0\left(gt\right)\)
nên C nằm trên đường tròn đường kính OA(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra A,B,O,I,C cùng nằm trên một đường tròn(đpcm)
