Cho \(\Delta ABC\) và đường cao AH. \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\). CM : \(\Delta ABC\) vuông tại A.
Hung nguyen,Xuân Tuấn Trịnh,Ace Legona,Nguyễn Trần Thành Đạt.......
cái nay ở trong toán hình 9 tập 1 : định lí 4 trong hệ thức lượng trong \(\Delta\) vuông
mình chia làm 2 trường hợp
*Trường hợp 1:nếu được dùng định lí
+b2=a.b';
+c2=a.c';
+h2=b'.c'
Bây giờ ta chỉ cần biến đổi điều phải chứng minh. Ta biến đổi như sau:
\(\dfrac{1}{BH.HC}=\dfrac{1}{HB.BC}+\dfrac{1}{HC.BC}\)
<=>BC=HB+HC luôn đúng
=>điều phải chứng minh
*Trường hợp 2:nếu không được sử dụng các hệ thức trên thì ta sẽ đi chứng minh các hệ thức
+b2=a.b'
xét hai tam giác vuông ABH và CBA:
Có ABC^ chung
=>\(\Delta ABH\approx\Delta CBA\)
=>\(\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{BH}{AB}=>AB^2=BH.BC\)(1)
tương tự ta cũng chứng minh được :AC2=HC.BC(2)
+h2=b'.c'
ta có \(\Delta ABH\approx\Delta CBA\)(cmt)
\(\Delta CAH\approx\Delta CBA\left(cmt\right)\)
=>\(\Delta ABH\approx\Delta CAH\)
=>\(\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{BH}{AH}=>AH^2=BH.CH\)(3)
Từ (1);(2) và (3),kết hợp với cách giải ở trường hợp 1=>điều phải chứng minh
trên BC lấy C' sao cho ABC' vuông tại A.
=>\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC'^2}\) Kết hợp với đề bài
=> AC' = AC => py ta go cho tam giác HAC và HAC'
=> HC= HC' => C trùng C' => ABC vuông.
