Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
APTX 4869

Cho \(\Delta ABC\) ; AD là phân giác ; AB=c ; AC=b ; BC=a C/M

a) \(\sin\frac{A}{2}\le\frac{a}{b+c}\)

b) \(\sin\frac{A}{2}\)\(\sin\frac{B}{2}\) . \(\sin\frac{C}{2}\) \(\le\frac{1}{8}\)

c) AD = \(\frac{2bc.\cos\frac{A}{2}}{b+c}\)

Các bạn có thể làm ý nào thì cứ làm nhé . Nếu đúng thì mình sẽ tick cho

Vũ Tiến Manh
11 tháng 10 2019 lúc 9:06

A B C D M N c b a

Kẻ BM và CN vuông góc với AD

a)  AC.sin\(\frac{A}{2}\)=CN \(\le\) CD ; AB.sin\(\frac{A}{2}\)=BM \(\le\) BD 

=> (AC+AB)sin\(\frac{A}{2}\)\(\le\) CD+BD = BC hay (b+c)sin\(\frac{A}{2}\)\(\le\)a <=> sin\(\frac{A}{2}\le\frac{a}{b+c}\)

dấu '=' xảy ra khi M,N, D trùng nhau hay tam giác ABC cân ở A

b) làm tương tự ta có sin\(\frac{B}{2}\le\frac{b}{a+c}\); sin\(\frac{C}{2}\le\frac{c}{a+b}\)

=> sin\(\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}\le\frac{a.b.c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)  (1)

mà (a+b)(b+c)(c+a) \(\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}\)=8a.b.c => (1) \(\le\frac{1}{8}\)

dấu '=' khi a=b=c hay tam giác ABC là tam giác đều

c) xét 2 tam giác CND và tam giác BMD có CN // BM ( đều vuông góc với AD) nên \(\widehat{NCD}=\widehat{MBD}\); lại có \(\widehat{NDC}=\widehat{BDM}\)

=> là 2 tam giác đồng dạng => \(\frac{DN}{DM}=\frac{NC}{MB}=\frac{AC.sin\frac{A}{2}}{AB.sin\frac{A}{2}}=\frac{b}{c}=>DN=DM.\frac{b}{c}\)

AD = AM+MD => \(\frac{b}{c}AD=\frac{b}{c}AM+\frac{b}{c}MD\)

AD= AN-ND

=>cộng vế theo vế ta được  AD(\(\frac{b}{c}+1\)) = \(\frac{b}{c}\)AM+\(\frac{b}{c}MD\)+ AN - ND =  \(\frac{b}{c}AM+AN\)\(\frac{b}{c}ABcos\frac{A}{2}+ACcos\frac{A}{2}\)=\(\frac{b}{c}.c.cos\frac{A}{2}+bcos\frac{A}{2}\)= 2b.\(cos\frac{A}{2}\)

=> AD(\(\frac{b+c}{c}\)) = 2b\(cos\frac{A}{2}\) <=> AD= \(\frac{2bc.cos\frac{A}{2}}{b+c}\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Tom
Xem chi tiết
Fan EBXTOS
Xem chi tiết
Nguyễn Bích Dịu
Xem chi tiết
GIẤU TÊN
Xem chi tiết
Gia Linh Trần
Xem chi tiết
Cuồng Song Joong Ki
Xem chi tiết
Princess Rose
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Quang 123
Xem chi tiết
phan tuấn anh
Xem chi tiết