a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(gt\right)\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\end{matrix}\right.\) (tính chất tam giác cân).
Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=180^0\\\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=180^0\end{matrix}\right.\) (các góc kề bù).
Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(cmt\right)\)
=> \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}.\)
Xét 2 \(\Delta\) \(ABD\) và \(ACE\) có:
\(AB=AC\left(cmt\right)\)
\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\left(cmt\right)\)
\(BD=CE\left(gt\right)\)
=> \(\Delta ABD=\Delta ACE\left(c-g-c\right).\)
=> \(\widehat{BAD}=\widehat{CAE}\) (2 góc tương ứng).
Hay \(\widehat{BAH}=\widehat{CAK}.\)
Xét 2 \(\Delta\) vuông \(AHB\) và \(AKC\) có:
\(\widehat{AHB}=\widehat{AKC}=90^0\left(gt\right)\)
\(AB=AC\left(cmt\right)\)
\(\widehat{BAH}=\widehat{CAK}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta AHB=\Delta AKC\) (cạnh huyền - góc nhọn).
=> \(BH=CK\) (2 cạnh tương ứng).
b) \(\Delta AHB=\Delta AKC\) (đã chứng minh ở câu a).
c) Theo câu a) ta có \(\Delta ABD=\Delta ACE.\)
=> \(AD=AE\) (2 cạnh tương ứng).
=> \(\Delta ADE\) cân tại A.
=> \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\) (tính chất tam giác cân).
=> \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\) (1).
+ Theo câu a) ta có \(\Delta AHB=\Delta AKC.\)
=> \(AH=AK\) (2 cạnh tương ứng).
=> \(\Delta AHK\) cân tại A.
=> \(\widehat{AHK}=\widehat{AKH}\) (tính chất tam giác cân).
=> \(\widehat{AHK}=\widehat{AKH}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\) (2).
Từ (1) và (2) => \(\widehat{ADE}=\widehat{AHK}.\)
Mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị.
=> \(DE\) // \(HK.\)
Hay \(BC\) // \(HK\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
