a) Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=180^0\)(hai góc kề bù)
\(\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=180^0\)(hai góc kề bù)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
nên \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)
Xét ΔABD và ΔACE có
AB=AC(do ΔABC cân tại A)
\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)(cmt)
DB=CE(gt)
Do đó: ΔABD=ΔACE(c-g-c)
⇒\(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\)(hai góc tương ứng)
Xét ΔHBD vuông tại H và ΔCKE vuông tại K có
DB=CE(gt)
\(\widehat{HDB}=\widehat{KEC}\)(\(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\), H∈AD,K∈AE)
Do đó: ΔHBD=ΔCKE(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒BH=CK(hai cạnh tương ứng)
b) Ta có: AH+HD=AD(do A,H,D thẳng hàng)
AK+KE=AE(do A,K,E thẳng hàng)
mà AD=AE(do ΔABD=ΔACE)
và HD=KE(do ΔHBD=ΔCKE)
nên AH=AK
Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có
AH=AK(cmt)
\(\widehat{HAB}=\widehat{KAC}\)(do ΔABD=ΔACE)
Do đó: ΔAHB=ΔAKC(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
c) Ta có: \(\widehat{ABH}+\widehat{ABC}=\widehat{HBC}\)(do tia BA nằm giữa hai tia BH,BC)
\(\widehat{ACK}+\widehat{ACB}=\widehat{KCB}\)(do tia CA nằm giữa hai tia CK,CB)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
và \(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\)(do ΔAHB=ΔAKC)
nên \(\widehat{HBC}=\widehat{KCB}\)
Ta có: \(\widehat{HBC}+\widehat{IBC}=180^0\)(hai góc kề bù)
\(\widehat{KCB}+\widehat{ICB}=180^0\)(hai góc kề bù)
mà \(\widehat{HBC}=\widehat{KCB}\)(cmt)
nên \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)
Xét ΔIBC có \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)(cmt)
nên ΔIBC cân tại I(định lí đảo của tam giác cân)
d) Ta có: AM là đường cao ứng với cạnh đáy BC của ΔABC cân tại A(gt)
⇒AM cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(định lí tam giác cân)
⇒M là trung điểm của BC
⇒M nằm trên đường trung trực của BC(t/c đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: AB=AC(do ΔABC cân tại A)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(t/c đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Ta có: IB=IC(do ΔIBC cân tại A)
nên I nằm trên đường trung trực của BC(t/c đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra A,M,I thẳng hàng(đpcm)
