Question

Cho ΔABC cân tại A, đường cao AH. N là trung điểm AC, Hai đoạn BN và AH giao tại G. Trên tia đối NB lấy K sao cho NK = NG

a) CM tam giác ABH=tam giác ACH

b)CM CK vuông góc với BC

c)I là giao cuả KH và CN. CM I là trọng tâm tam giác BCK

d)M là trung điểm AB. CM GM<1/4(BC+AG)

Answer 1

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC

AH chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC

b: ΔAHB=ΔAHC

=>HB=HC

=>H là trung điểm của BC

Xét ΔABC có

AH,BN là các đường trung tuyến

AH cắt BN tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

=>GB=2GN

mà GK=2GN(N là trung điểm của GK)

nên GB=GK

=>G là trung điểm của BK

Xét ΔNAG và ΔNCK có

NA=NC

\(\widehat{ANG}=\widehat{CNK}\)(hai góc đối đỉnh)

NG=NK

Do đó: ΔNAG=ΔNCK

=>\(\widehat{NAG}=\widehat{NCK}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AG//CK

Ta có: AG//CK

AG\(\perp\)BC

Do đó: CK\(\perp CB\)

c:

Sửa đề: KH cắt CG tại I

Xét ΔKBC có

KH,CG là các đường trung tuyến

KH cắt CG tại I

Do đó: I là trọng tâm của ΔKBC

d:

Xét ΔABC có

G là trọng tâm của ΔABC

H là trung điểm của BC

Do đó: AG=2GH

Xét ΔABC có

G là trọng tâm

M là trung điểm của AB

Do đó: C,G,M thẳng hàng và CG=2GM

\(\dfrac{1}{4}\left(BC+AG\right)=\dfrac{1}{4}\left(2CH+2GH\right)=\dfrac{1}{2}\left(CH+GH\right)\)

mà CH+GH>CG(Bất đẳng thức trong ΔCGH)

nên \(\dfrac{1}{4}\left(BC+AG\right)>\dfrac{1}{2}CG\)

mà CG=2GM

nên \(\dfrac{1}{4}\left(BC+AG\right)>\dfrac{1}{2}\cdot2GM=GM\)