a) Ta có: \(\widehat{ABD}=\widehat{CBD}=\frac{\widehat{ABC}}{2}\)(BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))
\(\widehat{ACE}=\widehat{BCE}=\frac{\widehat{ACB}}{2}\)(CE là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\))
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(Hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
nên \(\widehat{ABD}=\widehat{CBD}=\widehat{ACE}=\widehat{BCE}\)
Xét ΔABD và ΔACE có
\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)(cmt)
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{BAD}\) chung
Do đó: ΔABD=ΔACE(g-c-g)
⇒AD=AE(Hai cạnh tương ứng)
Xét ΔADE có AD=AE(cmt)
nên ΔADE cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{AED}=\frac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔADE cân tại A)(1)
Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
nên \(\widehat{ABC}=\frac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{AED}\) và \(\widehat{ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị
nên ED//BC(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
Xét tứ giác BEDC có ED//BC(cmt)
nên BEDC là hình thang có hai đáy là ED và BC(Định nghĩa hình thang)
Hình thang BEDC(ED//BC) có \(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)(Hai góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)
nên BEDC là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
b) Ta có: ED//BC(cmt)
nên \(\widehat{DEC}=\widehat{ECB}\)(hai góc so le trong)
mà \(\widehat{ECB}=\widehat{ECD}\)(cmt)
nên \(\widehat{DEC}=\widehat{DCE}\)
Xét ΔDEC có \(\widehat{DEC}=\widehat{DCE}\)(cmt)
nên ΔDEC cân tại D(Định lí đảo của tam giác cân)
⇒DE=DC
mà DC=EB(Hai cạnh bên của hình thang cân BEDC)
nên BE=ED=DC
