Question

cho các số thực x,y,z thỏa mãn x,y,z\(\ge\)1 và \(3\left(x+y+z\right)=x^2+y^2+z^2+2xy\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=\(\frac{x^2}{\left(x+y\right)^2+x}+\frac{x}{z^2+x}\)

Answer 1

Vì \(x\ge1\Rightarrow x^2\ge x\)

Từ đó: \(P\ge\frac{x}{\left(x+y\right)^2+x}+\frac{x}{z^2+x}=x\left[\frac{1}{\left(x+y\right)^2+x}+\frac{1}{z^2+x}\right]\)

\(\ge x\cdot\frac{4}{\left(x+y\right)^2+x+z^2+x}=\frac{4x}{\left(x+y\right)^2+z^2+2x}\) (Cauchy Schwarz)

Lại có: \(\left(x+y\right)^2+z^2=x^2+y^2+z^2+2xy=3\left(x+y+z\right)\)

\(\le3\sqrt{2\left[\left(x+y\right)^2+z^2\right]}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+z^2\le18\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{4x}{18+2x}=2-\frac{18}{x+9}\ge2-\frac{18}{1+9}=\frac{1}{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)

Vậy Min(P) = 1/5 khi x = 1 ; y = 2 ; z = 3