Làm phần min trước, Max để mai:
Ta chứng minh \(P\ge\frac{18}{25}\).
*Nếu x = 0 thì \(y^2=\frac{1}{2}\Rightarrow P=\frac{7}{4}>\frac{18}{25}\)
*Nếu x khác 0. Xét hiệu hai vế ta thu được:
\(\ge0\)
P/s: Nên rút gọn cái biểu thức cuối cùng lại cho nó đẹp và khi đó ta không cần xét 2 trường hợp như trên:D
Cách khác đơn giản hơn:
Đặt \(x+y=a;xy=b\Rightarrow a^2\ge4b\)
\(\Rightarrow2a^2-1=5b\) rồi rút thế các kiểu cho nó thành 1 biến là xong:D (em nghĩ vậy thôi chứ chưa thử)
\(1+xy=2\left(x^2+y^2\right)\ge4xy\) => \(xy\le\frac{1}{3}\)
\(1+xy=2\left(x^2+y^2\right)=2\left(x+y\right)^2-4xy\ge-4xy\) => \(xy\ge-\frac{1}{5}\)
=> \(-\frac{1}{5}\le xy\le\frac{1}{3}\)
\(P=7.\left[\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2\right]+4x^2y^2\)
\(=7.\left(\frac{1+xy}{2}\right)^2-10x^2y^2=\frac{-33x^2y^2+14xy+7}{4}\)
đặt \(t=xy\)
\(P=\frac{-33t^2+14t+7}{4}\)
........................
\(P_{min}=\frac{18}{25}\) tại \(xy=-\frac{1}{5}\)
\(P_{max}=\frac{70}{33}\) tại \(xy=\frac{7}{33}\)