Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$\frac{a^2}{2}+8b^2\geq 2\sqrt{\frac{a^2}{2}.8b^2}=4ab$
$\frac{a^2}{2}+8c^2\geq 2\sqrt{\frac{a^2}{2}.8c^2}=4ac$
$2(b^2+c^2)\geq 2.2\sqrt{b^2c^2}=4bc$
Cộng các BĐT trên theo vế và thu gọn ta được:
$a^2+10(b^2+c^2)\geq 4(ab+bc+ac)=4$
Ta có đpcm.
Cho a, b, c là ba số khác 0 thỏa mãn: ab/a+b=bc/b+c=ca/c+a ( với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) và a+b=c=1 tính giá trị của biểu thức A=abc(a2+b2+c2)/ab+bc+ca
Cho a và b là những số nguyên dương thỏa mãn ab + 1 chia hết cho a2 + b2 . Hãy chứng minh rằng: a2 + b2 / ab + 1 là bình phương của một số nguyên.
Cho a,b,c là độ dài của 3 cạnh tam giác. Chứng minh rằng ab + bc+ ca < a2 + b2 + c2 mà
a < hoặc = 0
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng \(\sqrt{\dfrac{a.\left(a+c\right)}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{b.\left(b+c\right)}{b+ac}}=\sqrt{a+b}\)
Cho a,b,c,x,y,z thỏa mãn a+b+c=a2+b2+c2=1 và x/a=y/b=z/c.Chứng minh rằng:x2+y2+z2=(x+y+z)2
Bài 4.Cho V ABC cân tại A có góc A =40 độ.Trên cạnh AB lấy điểm D,trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD= CE. Kẻ DH và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC. (H,K thuộc BC).
1) Tính góc B, gócC của tam giác ABC.
2)Chứng minh DH=EK.
3)Gọi M là trung điểm của HK,chứng minh M là trung điểm của DE.
Bài 5.Chứng minh rằng nếu a/b=b/c thì a2+b2/b2+c2= a/c với b,c khác 0.
cho hai số không âm a,b thỏa mãn a2+b2=a+b tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S=a/a+1+b/b+1
10. Chứng minh các bất đẳng thức :
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
Bài 2: Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn ab+bc+ca=3. Chứng minh rằng:(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3) là số chính phương
