Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hà Trần

Cho các số thực dương x,y,z tm: x+y+z=3

CMR \(\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{2y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\ge 4xyz\)

@Lightning Farron giúp em với

Lightning Farron
27 tháng 2 2018 lúc 23:01

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(VT=\dfrac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\dfrac{2y^2+z^2+x^2}{4-xz}+\dfrac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)

\(\ge\dfrac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\dfrac{4y\sqrt{xz}}{4-xz}+\dfrac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\)

Cần chứng minh: \(\dfrac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\dfrac{4y\sqrt{xz}}{4-xz}+\dfrac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\ge4xyz\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{yz}}{yz\left(4-yz\right)}+\dfrac{\sqrt{xz}}{xz\left(4-xz\right)}+\dfrac{\sqrt{xy}}{xy\left(4-xy\right)}\ge1\)

Mà theo BĐT Cauchy-SChwarz ta có:

\(\left(x+y+z\right)^2\ge\left(1+1+1\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)

Đăt \(\left(\sqrt{xy};\sqrt{yz};\sqrt{xz}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c\le3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\dfrac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\dfrac{c}{c\left(4-c^2\right)}\ge1\left(\odot\right)\)

Ta có BĐT phụ: \(\dfrac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}\le-\dfrac{1}{9}a+\dfrac{4}{9}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-1\right)^2\left(a^2-2a-9\right)}{9a\left(a-2\right)\left(a+2\right)}\le0\forall0< a\le1\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT_{\left(\odot\right)}\ge\dfrac{-\left(a+b+c\right)}{9}+\dfrac{4}{9}\cdot3\ge\dfrac{-3}{9}+\dfrac{12}{9}=1=VP_{\left(\odot\right)}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)


Các câu hỏi tương tự
Trần Bảo Hân
Xem chi tiết
Ánh Dương
Xem chi tiết
Xem chi tiết
hello sunshine
Xem chi tiết
Hoàng Linh Chi
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Đẹp Trai Không Bao Giờ S...
Xem chi tiết
Trần Đạt
Xem chi tiết
Komorebi
Xem chi tiết