Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trần Bảo Hân

a) Cho x, y, z thuộc R. Cmr: \(\left(x+y+z\right)^2>=3.\left(xy+yz+zx\right)\)

b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn x + y +z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M = \(\frac{5}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\)

Nguyễn Việt Lâm
25 tháng 7 2020 lúc 21:27

a/

Với mọi số thực x;y;z ta luôn có:

\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2yz\ge3xy+3yz+3zx\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\) (đpcm)

b/

\(M=2\left(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}\right)+\frac{1}{xy+yz+zx}\)

\(M\ge2.\frac{9}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx+xy+yz+zx}+\frac{1}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)

\(M\ge\frac{18}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{3}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{21}{\left(x+y+z\right)^2}=21\)

\(M_{min}=21\) khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)


Các câu hỏi tương tự
Xem chi tiết
Hoàng
Xem chi tiết
Thái Viết Nam
Xem chi tiết
Hoàng Linh Chi
Xem chi tiết
Hoàng Linh Chi
Xem chi tiết
Ngoc An Pham
Xem chi tiết
nguyễn minh
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Dương Thanh Ngân
Xem chi tiết