Question

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1\)

Tính giá trị của biểu thức: \(P=\sqrt{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\left(\frac{\sqrt{x}}{1+x}+\frac{\sqrt{y}}{1+y}+\frac{\sqrt{z}}{1+z}\right)\)

Answer 1

Thay \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1\) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}1+x=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+x=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{z}\right)\\1+y=\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{x}\right)\\1+z=\left(\sqrt{z}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)\end{matrix}\right.\)

\(P=\sqrt{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\left(\frac{\sqrt{x}}{1+x}+\frac{\sqrt{y}}{1+y}+\frac{\sqrt{z}}{1+z}\right)\)

\(P=\sum\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)=2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\right)=2\)