Question

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện: a>0; \(bc=2a^2\)và a+b+c=abc. Chứng minh rằng \(a\ge\sqrt{\frac{1+2\sqrt{2}}{2}}\)

Answer 1

có lẽ xài viete.

a+b+c=abc <=> b+c=abc-a=a.(2a²-1)=2a³-a

mà bc=2a²=> b,c là nghiệm của phương trình \(x^2-\left(2a^3-a\right)x+2a^2=0\)

để phương trình có nghiệm thì \(\Delta=\left(2a^3-a\right)^2-8a^2\ge0\Leftrightarrow a^2\left[\left(2a^2-1\right)^2-8\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2-1\ge2\sqrt{2}\Leftrightarrow a^2\ge\frac{1+2\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow a\ge\sqrt{\frac{1+2\sqrt{2}}{2}}\)(đpcm)