Question

Cho các số nguyên x, y, z thỏa x + y + z chia hết cho 6. CMR x³ + y³ + z³ chia hết cho 6

Answer 1

Lời giải:

$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(x+z)$

Vì $x+y+z\vdots 6\vdots 2$ nên trong 3 số $x,y,z$ có thể có: 2 số
 lẻ 1 số chẵn, 3 số chẵn

Nếu $x,y,z$ là 3 số chẵn thì hiển nhiên $(x+y)(y+z)(x+z)\vdots 2$

Nếu $x,y,z$ có 2 số lẻ, 1 số chẵn thì tổng 2 số lẻ đó là 1 số chẵn

$\Rightarrow$ trong 3 số $x+y,y+z,x+z$ sẽ có 1 số chẵn.

$\Rightarrow (x+y)(y+z)(x+z)\vdots 2$

Vậy $(x+y)(y+z)(x+z)\vdots 2$

$\Rightarrow 3(x+y)(y+z)(x+z)\vdots 6$

Mà $x+y+z\vdots 6$

$\Rightarrow x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(x+z)\vdots 6$