Question

Cho các số không âm x,y thỏa mãn\(x^3+y^3\) = 2 .CMR : \(x^2+y^2\le2\)

Answer 1

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki , ta có : 

\(\left(x^2+y^2\right)^2=\left(\sqrt{x}.\sqrt{x^3}+\sqrt{y}.\sqrt{y^3}\right)^2\) \(\le\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)=2\left(x+y\right)\) 

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^4\le4\left(x+y\right)^2=4\left(1.x+1.y\right)^2\le4\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)=8\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^3\le8\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\le2\left(\text{đ}pcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1