Phạm Thùy Dung

Cho các số dương a , b , c \(\ne0\) . TM: a +b + c =abc . Tìm GTLN của bt \(\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+A^2\right)}}+\frac{b}{\sqrt{ca\left(1+b^2\right)}}+\frac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}\)

Phùng Minh Quân
6 tháng 10 2019 lúc 9:05

\(\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}=\frac{a}{\sqrt{bc+a\left(a+b+c\right)}}=a\sqrt{\frac{1}{a+b}.\frac{1}{c+a}}\le\frac{\frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a}}{2}\)

Tương tự 2 cái còn lại cộng lại ta đc \(VT\le\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)

Bình luận (0)
Nyatmax
6 tháng 10 2019 lúc 9:33

Cach khac

Dat \(P=\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}+\frac{b}{\sqrt{ca\left(1+b^2\right)}}+\frac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}\)

Ta co:

\(a+b+c=abc\)

\(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)

Dat \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx=1\)

\(\Rightarrow P=\sqrt{\frac{yz}{1+x^2}}+\sqrt{\frac{zx}{1+y^2}}+\sqrt{\frac{xy}{1+z^2}}\)

Ta lai co:

\(\sqrt{\frac{yz}{1+x^2}}=\sqrt{\frac{yz}{xy+yz+zx+x^2}}=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{z+x}\right)\)

Tuong tu:

\(\sqrt{\frac{zx}{1+y^2}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{z}{y+z}+\frac{x}{x+y}\right)\)

\(\sqrt{\frac{xy}{1+z^2}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{z+x}+\frac{y}{y+z}\right)\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{z+x}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)

Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow a=b=c=\sqrt{3}\) 

Vay \(P_{min}=\frac{3}{2}\)khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Vũ Đức
Xem chi tiết
Itachi Uchiha
Xem chi tiết
Kurosaki Akatsu
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Minh Nguyệt
Xem chi tiết
Nguyễn Hồng Thắm
Xem chi tiết
Kiệt Nguyễn
Xem chi tiết
Trần Huy Hoàng
Xem chi tiết
Chỉ Yêu Mình Em
Xem chi tiết
Phùng Gia Bảo
Xem chi tiết